Calcular la integral
\[ \int \tan^3(x) \, dx \]
Escribir el integrando \( \tan^3(x) \) como el producto \( \tan x \cdot \tan^2 x \)
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \cdot \tan^2 x \, dx \]
Usar la identidad trigonométrica \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para escribir la integral como
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]
Expandir el integrando y reescribir la integral como una diferencia de integrales
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]
Usar Integración por Sustitución en \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \):
Sea \( u = \tan x \) y por tanto \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) o \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \) para escribir
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \cdot \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du - \int \tan x \, dx \]
Simplificar
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]
Evaluar usando las fórmulas de integrales \( \displaystyle \int u \, du = \frac{1}{2} u^2 \) y la integral común \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln |\sec x| \) para escribir
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln |\sec x| + C \]
Sustituir nuevamente \( \displaystyle u = \tan x \) para obtener la respuesta final
\[ \boxed{ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} \tan^2 x - \ln |\sec x| + C } \]