Integral de \( \tan^3(x) \)

Derivación y evaluación

Calcula la integral:

\[ \int \tan^3(x) \, dx \]

Escribe el integrando \( \tan^3(x) \) como el producto \( \tan x \tan^2 x \):

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \tan^2 x \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para escribir la integral de la siguiente manera:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]

Desarrolla el integrando y reescribe la integral como una diferencia de integrales:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]

Utiliza la integración por sustitución en \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \): sea \( u = \tan x \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) o \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \). Al sustituir esto se obtiene:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du - \int \tan x \, dx \]

Simplifica la expresión:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]

Evalúa utilizando las fórmulas de integrales estándar \( \displaystyle \int u \, du = \dfrac{1}{2} u^2 \) y la integral común \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| \):

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln|\sec x| + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

Sustituye de nuevo \( u = \tan x \) para obtener la respuesta final: